توابع ریاضی ویژه در استاندارد ۱۷ از سی‌پلاس‌پلاس

[کامبیز اسدزاده 618]

در این مقاله نیاز است بدانید که، کتابخانهٔ توابع ویژه ریاضی در اصل بخشی از کتابخانه TR1 ISO / IEC TR 19768: 2007 بود، سپس به عنوان یک استاندارد ISO مستقل، ISO / IEC 29124: 2010 منتشر شد و در نهایت از C++ 17 به استاندارد ایزو ادغام شد.

برای استفاده از توابع ریاضیاتی مانند هرمیتی، بسل و غیره کافی است فایل سرآیند <cmath> را فراخوانی کنید.

به عنوان مثال توابع چند‌جمله‌ای لگر به صورت زیر می‌توانند مورد استفاده قرار گیرند:

#include <cmath>
#include <iostream>

double L1(unsigned m, double x) { return -x + m + 1; }
double L2(unsigned m, double x) { return 0.5*(x*x-2*(m+2)*x+(m+1)*(m+2)); }

int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::assoc_laguerre(1, 10, 0.5) << '=' << L1(10, 0.5) << '\n'
              << std::assoc_laguerre(2, 10, 0.5) << '=' << L2(10, 0.5) << '\n';
}

مثالی از کاربرد توابع چندجمله‌ای‌های لژاندر :

#include <cmath>
#include <iostream>
double P20(double x) { return 0.5*(3*x*x-1); }
double P21(double x) { return 3.0*x*std::sqrt(1-x*x); }
double P22(double x) { return 3*(1-x*x); }
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::assoc_legendre(2, 0, 0.5) << '=' << P20(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 1, 0.5) << '=' << P21(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 2, 0.5) << '=' << P22(0.5) << '\n';
}

نحوهٔ استفاده از توابع بتا 

#include <cmath>
#include <string>
#include <iostream>
#include <iomanip>

double binom(int n, int k) { return 1/((n+1)*std::beta(n-k+1,k+1)); }

int main()
{
    std::cout << "Pascal's triangle:\n";
    for(int n = 1; n < 10; ++n) {
        std::cout << std::string(20-n*2, ' ');
        for(int k = 1; k < n; ++k)
            std::cout << std::setw(3) << binom(n,k) << ' ';
        std::cout << '\n';
    }
}

اطلاعات بیشتر از این تابع، در این لینک.

 نحوهٔ استفاده از توابع انتگرال بیضوی نوع اول  :

#include <cmath>
#include <iostream>

int main()
{
    double hpi = std::acos(-1)/2;

    std::cout << "K(0) = " << std::comp_ellint_1(0) << '\n'
              << "π/2 = " << hpi << '\n'
              << "K(0.5) = " << std::comp_ellint_1(0.5) << '\n'
              << "F(0.5, π/2) = " << std::ellint_1(0.5, hpi) << '\n';
    std::cout << "Period of a pendulum length 1 m at 90° initial angle is "
              << 4*std::sqrt(1/9.80665)*
                 std::comp_ellint_1(std::pow(std::sin(hpi/2),2)) << " s\n";
}

اطلاعات بیشتر از این تابع، در این لینک.

 نحوهٔ استفاده از توابع انتگرال بیضوی نوع دوم  :

#include <cmath>
#include <iostream>

int main()
{
    double hpi = std::acos(-1)/2;

    std::cout << "E(0) = " << std::comp_ellint_2(0) << '\n'
              << "π/2 = " << hpi << '\n'
              << "E(1) = " << std::comp_ellint_2(1) << '\n'
              << "E(1, π/2) = " << std::ellint_2(1, hpi) << '\n';
}

اطلاعات بیشتر از این تابع، در این لینک.

نحوهٔ استفاده از توابع انتگرال بیضوی نوع سوم  :

#include <cmath>
#include <iostream>

int main()
{
    std::cout << std::fixed
              << "Π(0.5,0) = " << std::comp_ellint_3(0.5, 0) << '\n'
              << "K(0.5)   = " << std::comp_ellint_1(0.5) << '\n'
              << "Π(0,0)   = " << std::comp_ellint_3(0, 0) << '\n'
              << "π/2      = " << std::acos(-1)/2 << '\n'
              << "Π(0.5,1) = " << std::comp_ellint_3(0.5, 1) << '\n';
}

اطلاعات بیشتر از این تابع، در این لینک.

نحوهٔ استفاده از توابع بسل نوع اول  :

#include <cmath>
#include <iostream>

int main()
{
    // spot check for ν == 0
    double x = 1.2345;
    std::cout << "I_0(" << x << ") = " << std::cyl_bessel_i(0, x) << '\n';
 
    // series expansion for I_0
    double fct = 1;
    double sum = 0;
    for(int k = 0; k < 5; fct*=++k) {
        sum += std::pow((x/2),2*k) / std::pow(fct,2);
        std::cout << "sum = " << sum << '\n';
    }        
}

اطلاعات بیشتر از این تابع، در این لینک.

 نحوهٔ استفاده از توابع بسل نوع دوم  :

#include <cmath>
#include <iostream>

int main()
{
    // spot check for ν == 0
    double x = 1.2345;
    std::cout << "J_0(" << x << ") = " << std::cyl_bessel_j(0, x) << '\n';
 
    // series expansion for J_0
    double fct = 1;
    double sum = 0;
    for(int k = 0; k < 6; fct*=++k) {
        sum += std::pow(-1, k)*std::pow((x/2),2*k) / std::pow(fct,2);
        std::cout << "sum = " << sum << '\n';
    }        
}

اطلاعات بیشتر از این تابع، در این لینک.

همچنین در مورد توابع دیگر مانند هرمیتی و غیره می‌توانید از مرجع آن استفاده کنید.